Hàm truyền thường được sử dụng trong phân tích các hệ thống như các bộ lọc một đầu vào-một đầu ra, điển hình là trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, lý thuyết truyền thông, và lý thuyết điều khiển. Thuật ngữ này thường được sử dụng đặc biệt đối với các hệ thống tuyến tính, thời gian bất biến (LTI), như được đề cập trong bài viết này. Hầu hết các hệ thống thực có các đặc điểm đầu vào / đầu ra phi tuyến, nhưng nhiều hệ thống, khi hoạt động với các thông số danh nghĩa (không phải "quá mức") có hành vi đủ gần tuyến tính mà lý thuyết hệ thống LTI là một đại diện chấp nhận được của hành vi đầu vào / đầu ra.

Các mô tả dưới đây được đưa ra trong trường hợp của biến phức, s = σ + j * ω, giúp giải thích ngắn gọn. Trong nhiều ứng dụng, chỉ cần định nghĩa σ = 0 (và s = ​​j * ω), là đủ làm giảm các biến đổi Laplace với các argument phức thành biến đổi Fourier với argument thực ω. Các ứng dụng mà điều này là phổ biến là những ứng dụng chỉ sự quan tâm đến các phản ứng trạng thái ổn định của một hệ thống LTI, không phải là hành vi bật và tắt thoáng qua hoặc vấn đề ổn định. Đó thường là trường hợp củaxử lý tín hiệuvà lý thuyết truyền thông.

Do đó, đối với tín hiệu đầu vào x ( t ) {\displaystyle x(t)}  và đầu ra  y ( t ) {\displaystyle y(t)}  trong thời gian liên tục, hàm truyền  H ( s ) {\displaystyle H(s)}  là ánh xạ tuyến tính của biến đổi Laplace của đầu vào, X ( s ) = L { x ( t ) } {\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}} , với biến đổi Laplace của đầu ra  Y ( s ) = L { y ( t ) } {\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}} :

hoặc

H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = L { y ( t ) } L { x ( t ) } {\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}} .

Trong các hệ thống thời gian rời rạc, quan hệ giữa một tín hiệu đầu vào  x ( t ) {\displaystyle x(t)}  và đầu ra  y ( t ) {\displaystyle y(t)}  phải sử dụng biến đổi z, và khi hàm truyền được viết tương tự như  H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}}  và thường sử dụng hàm truyền xung. [citation needed]

Dẫn xuất trực tiếp từ phương trình vi phân

Hãy xem xét một phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi

trong đó u và r những hàm theo t, và L là toán tử được xác định trên không gian hàm biến đổi u sang r. Loại phương trình này có thể được sử dụng để hạn chế hàm đầu ra u trong điều kiện của hàm ràng buộc r. Hàm truyền, được viết dưới toán tử  F [ r ] = u {\displaystyle F[r]=u} , là nghịch đảo bên phải của L, do đó L [ F [ r ] ] = r {\displaystyle L[F[r]]=r} .

Phương trình vi phân hệ số không đổi, đồng nhất  L [ u ] = 0 {\displaystyle L[u]=0}  có thể được giải bằng cách thay  u = e λ t {\displaystyle u=e^{\lambda t}} . Từ đó ta có được đa thức đặc trưng

Trường hợp không đồng nhất có thể được giải dễ dàng nếu hàm đầu vào r cũng có dạng r ( t ) = e s t {\displaystyle r(t)=e^{st}} . Trong trường hợp này, bằng cách đặt  u = H ( s ) e s t {\displaystyle u=H(s)e^{st}}  ta sẽ thấy   L [ H ( s ) e s t ] = e s t {\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}  nếu và chỉ nếu

Định nghĩa trên của hàm truyền yêu cầu phân biệt rõ ràng giữa các giá trị thực và giá trị phức, vốn trước nay chịu ảnh hưởng bởi việc giải thích của abs(H(s)) là độ lợi và -atan(H(s)) là độ lệch pha. Các định nghĩa khác của hàm truyền cũng được sử dụng: ví dụ  1 / p L ( i k ) . {\displaystyle 1/p_{L}(ik).} [6]